在水平地面上静止放置一个质量为2kg的木箱-水平地面上放一质量m为2kg的物体,f=4t

A、如果没有摩擦力，则人无法正常在地面上行走．为了增大摩擦力，人们在鞋底做了许多凸凹不平的花纹．

B、木箱静止，所以受到的重力和支持力是平衡力，没有摩擦力．

C、鞋带与鞋带、绳子和绳子之间存在静摩擦力，所以不会轻易松开．

D、粉笔擦在黑板上滑动，与黑板之间存在滑动摩擦力．

故选B．

牛顿3大定理是什么

B

甲乙之间没有相对运动趋势，且并列放置。试想一下如果甲乙之间有力的作用，一种是引力，一种是斥力，两个木材料的箱子怎么会有引力？如果是斥力，那它们两个是不可能静止在光滑水平面上的，要向两边散开，所以二者之间没有力。

质量为3.0kg的空木箱，放置在水平地面上，沿水平方向施加拉力，当拉力F1=8.0N时，木箱静止；当拉力F2=10.

1、第一定律（物体在没有外力作用的情况下会保持原有的状态）；

2、第二定律（F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比）；

3、第三定律（作用力与反作用力大小相等，方向相反）；

每一个定律都是非常重要的,是解决所有物理学问题的基础/

牛顿第一定律

目的和要求

1．认识物体的运动不需要力来维持。

2．知道力可以改变物体运动状态（速度）。

仪器和器材

方木块（滑块），长20厘米左右的小木棒，小球，实验小车，宽约为10－15厘米、长分别为30厘米和60厘米左右且厚度相同的刨光的木板各一块，毛巾和棉布各一块。

实验方法

一、物体的运动不需要力维持

1．把滑块放在60厘米长的水平木板上。用木棒推动滑块运动。停止推动，滑块迅速停下。

2．用木棒以与步骤1中同样的速度推小球。停止推动，小球还要向前运动一段距离。

3．用木棒敲击滑块，敲击停止，滑块还要运动一段距离。

观察重点：三种条件下物体变慢的情况。

结论：物体的运动不需要力来维持；力可以改变物体的运动状态。

二、初速相同时，在水平面运动的物体受的阻力越小，运动距离越长

1．把30厘米长的木板垫成倾角30°左右的斜面，60厘米长的木板水平放置，两板紧密相接。在水平木板上铺上毛巾。让小车自斜面顶端从静止开始滑下（也可以用小球代替）。

2．在水平板上换铺棉布，重复步骤1。

3．取去水平板上的棉布，重复步骤1。

观察重点：三次实验中小车都从同一高度滑下，刚滑到水平板上时快慢一样；三次实验中小车在水平板上运动的距离不同。

结论和推论：物体受到的阻力越小，运动的距离越长。如果物体在运动中不受任何力的作用，它的速度将保持不变，永远运动下去。

牛顿第二定律

[知识要点]

1.运动状态的改变：

运动状态改变实质上是速度的改变，它包括两种情况：①是速度大小的

改变，②是运动方向的改变。

2.牛顿第二定律：

物体的加速度与外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向

与合外力方向相同。

①公式：F合＝mas

②力是改变物体运动状态的原因。因为有了力才会产生加速度。

③1N的规定：使质量是1千克的物体产生1m/s2加速度的力是1N。

1N=1kg·m/s2

（在“牛顿”单位定义以前牛顿第二定律表示为F=kma)

④加速度是矢量，其方向和合外力方向相同。

3.平衡状态：物体处于静止或做匀速直线运动的状态，叫平衡状态。

力的平衡：物体在几个力的作用下处于平衡状态，则这种情况叫力的平衡

[重点难点分析]

1.F合＝ma

①力是产生加速度的原因。它的大小决定于F合和物体质量m

②牛顿第二定律中的F是物体受到合外力，不是某一个力。比如“一个物

体静止在水平地面上，用力F提它，没有提起”。这个例子中的F只是

一个拉力，不是牛顿定律中的合外力。所以平时说的一个力F不等同于

物体的合外力。

③加速度的方向决定于合外力的方向。它总和合外力方向相同。

④牛顿第二定律是动力学问题的关键，一定要重视。

2.合外力、加速度和物体运动速度的关系：

①当物体受到合外力的方向和物体的运动方向相同时，物体做加速运动。

当合外力逐渐减小时，加速度逐渐减小，但速度越来越大。

②当物体受到合外力的方向和物体运动方向相反时，物体做减速度运动。

不管加速度多大，物体的速度总是减小的。

3.解题思路：

①用牛顿第二定律解题，先要画出物体的简单图形

②正确分析物体的受力。（有合力、分力时，分析合力就不分析它的分

力，分析分子就不说它的合力。比如右上图,把物体说成“下滑力”

和“压力”就不说“重力”,说“重力”就不说“下滑力”和“压力”

4.当解题的结果阻力或加速度是负值时，答案时一定要注意加上方向。比

如:a=-5m/s2 就应该答:“物体的加速度是5m/s2，物体做减速运动

（或方向和物体的运动方向相反）。

[例题选解]

1.一个原来静止的物体，质量是7千克，受到14牛的力的作用，求物体的加

速度和5秒末的速度。

解：根据牛顿第二定律：F=ma

14N=7kg×a

a=2m/s2

vt=v0+at=0+2m/s2×5s=10m/s

2.质量为m的木箱在粗糙水平地面上，当用水平推力F作用于物体上时，物体

产生的加速度为a，若作用力变为2F，而方向不变,则木箱产生的加速度a'

A.大于2a B.等于2a C.小于2a,大于a D.等于a

分析：木箱在水平面上受到2个力的作用,向前的拉力，向后的阻力。根

据牛顿第二定律 F=ma 有：

F－f = ma

2F－f = ma'

由第二个式得 2(F-f) + f=ma'

2ma+ f=ma'

所以 a'>2a

牛顿第三定律

[知识要点]

1.牛顿第三定律：

两个物体间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，并且作用在同一直线上

F1＝－F2

①力的作用是相互的。同时出现，同时消失。

②相互作用力一定是相同性质的力

③作用力和反作用力作用在两个物体上，产生的作用不能相互抵消。

④作用力也可以叫做反作用力，只是选择的参照物不同

⑤作用力和反作用力因为作用点不在同一个物体上，所以不能求合力

2.相互作用力和平衡力的区别

①相互作用力是大小相等、方向相反、作用在两个物体上、且在同一直线上的力；两个力的性质是相同的。

②平衡力是作用在同一个物体上的两个力，大小相同、方向相反，并且作用在同一直线上。两上力的性质可以是不同的。

③相互平衡的两个力可以单独存在，但相互作用力同时存在，同时消失

例如：一个绳子吊着一只水桶，绳子对桶的竖直向上的拉力和桶对绳子竖直向下的拉力是一对相互作用力，它们都是弹力。作用点分别作用在桶上和绳子上。桶受到绳子的竖直向上的拉力和桶受到的地球对它施加的重力是一对平衡力，拉力和重力不是同一性质的力。

[重点难点分析]

1.一个弹簧秤两端各受到一个拉力，大小都是10牛顿，方向相反，而且处

于静止状态。弹簧秤的示数是多少？

答：10牛。

分析：这是一对平衡力，静止的弹簧秤示数就是它受到的平衡力的大小。也许有的同学想：弹簧秤受到两个10牛顿的力，它的示数不应该是20牛吗？不是的。

如果你手拿弹簧秤称一棵白菜的重力时，白菜如果15牛顿，则弹簧秤的示数为15牛顿，我们一定会说弹簧秤受到的拉力是15牛顿。但你别忘了弹簧秤的另一端还有一个向上的拉力呢，而且拉力的大小也是15牛顿(如果忽略弹簧秤的重力)。通过此例希望同学们记住：弹簧秤显示的示数是它受到的平衡力的大小，即两侧同时受到的拉力的大小。

2.鸡蛋撞在石头上，鸡蛋碎了，但石头却没有什么变化，是不是石头对鸡蛋的作用力大，鸡蛋对石头的作用力小。

分析：不对。鸡蛋撞击石头的力和石头撞击鸡蛋的力是一对相互作用力，它们大小相等，方向相反。只不过相同大小的力鸡蛋承受不了，而石头却能承受得了

重力为100N的木箱放置在水平地板上，至少要用35N的水平推力，才能使它从原地开始运动，木箱从原地移动后

（1）当拉力F2=10.3N时，木箱匀速运动，木箱水平方向受到拉力F2和滑动摩擦力f2，根据二力平衡条件有：

摩擦力f2=F2=10.3N

木箱放在水平地面上，则有木箱对地面压力大小等于木箱重力，即FN=mg=3×10N=30N

根据滑动摩擦力公式F=μFN，则木箱与地面之间动摩擦因数为：μ=

（2）当拉力F3=12.0N时，木箱将在地面上滑动，此时木箱所受到的摩擦力为滑动摩擦力．由第一问可知，f3=f2=10.3N

答：（1）木箱与地面间的动摩擦因数为0.35；

（2）木箱在12.0N的水平拉力作用下，受到的摩擦力的大小为10.3N．

（8分）如图所示，质量为M的正方形空木箱放置在粗糙水平面上，空木箱对角线有一光滑细轨道，轨道与水平方

由题，当要用35N的水平推力时，木箱才能从原地开始运动，则此时水平推力恰好等于最大静摩擦力，所以木箱与地板间的最大静摩擦力为35N．

用30N的水平推力，使木箱继续做匀速运动，则由平衡条件得到，木箱受到的滑动摩擦力：f=30N，

（1）木箱与地板间的最大静摩擦力为 35N．

（2）在地板上移动时，木箱所受的滑动摩擦力为30N．

（3）木箱与地板间的动摩擦因数为μ=

（4）如果用10N的水平推力推静置的木箱，木箱不动，则木箱受到的摩擦力大小为10N；

（5）物体在运动过程中，若把水平推力增大到50N，地板对木箱的摩擦力大小仍然为滑动摩擦力30N．此后，若撤去外力，直到静止前，地板对木箱的摩擦力大小为30N．

故答案为：35、30、0.3、10、30、30

如图所示一个质量为m的木箱通过轻绳悬挂在天花板上木箱地板上放一质量为m的木块b

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对A受力分析如图甲所示：由题意得：FTcos θ=Ff1 ①FN1+FTsin θ=mAg ②Ff1=μ1FN1 ③由①②③得：FT=100 N 对A、B整体受力分析如图乙所示，由题意得：FTcos θ+Ff2=F ④FN2+FTsin θ=（mA+mB）g ⑤Ff2=μ2FN2 ⑥由④⑤⑥得：μ2=0.3木板B与地面之间的动摩擦因。

请画出以下各图中物体的受力分析图（1）光滑小球A静止靠在水平台阶处，请画出小球A的受力分析图．（2）物

第一讲 平衡问题

一、特别提示[解平衡问题几种常见方法]

1、力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到这两个分力必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。

2、力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必有共点力。

3、正交分解法：将各力分解到 轴上和 轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件 多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对 、 方向选择时，尽可能使落在 、 轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。

4、矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法求得未知力。

5、对称法：利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。解题中注意到这一点，会使解题过程简化。

6、正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。

7、相似三角形法：利用力的三角形和线段三角形相似。

二、典型例题

1、力学中的平衡：运动状态未发生改变，即 。表现：静止或匀速直线运动

（1）在重力、弹力、摩擦力作用下的平衡

例1 质量为 的物体置于动摩擦因数为 的水平面上，现对它施加一个拉力，使它做匀速直线运动，问拉力与水平方向成多大夹角时这个力最小？

解析 取物体为研究对象，物体受到重力 ，地面的支持力N，摩擦力 及拉力T四个力作用，如图1-1所示。

由于物体在水平面上滑动，则 ，将 和N合成，得到合力F，由图知F与 的夹角：

不管拉力T方向如何变化，F与水平方向的夹角 不变，即F为一个方向不发生改变的变力。这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T与F互相垂直时，T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角 时，使物体做匀速运动的拉力T最小。

（2）摩擦力在平衡问题中的表现

这类问题是指平衡的物体受到了包括摩擦力在内的力的作用。在共点力平衡中，当物体虽然静止但有运动趋势时，属于静摩擦力；当物体滑动时，属于动摩擦力。由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变，静摩擦力大小还可在一定范围内变动，因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况，要复杂一些。因此做这类题目时要注意两点

①由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变，因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围；又由于存在着最大静摩擦力，所以使物体起动所需要的力应大于某一最小的力。总之，包含摩擦力在内的平衡问题，物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的，只有当维持匀速运动时，外力才需确定的数值。

②由于滑动摩擦力F= ，要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算，防止出现错误。

例2 重力为G的物体A受到与竖直方向成 角的外力 F后，静止在竖直墙面上，如图1-2所示，试求墙对物体A的静摩擦力。

分析与解答 这是物体在静摩擦力作用下平衡问题。首先确定研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力图。A受竖直向下的重力G，外力F，墙对A水平向右的支持力（弹力）N，以及还可能有静摩擦力 。这里对静摩擦力的有无及方向的判断是极其重要的。物体之间有相对运动趋势时，它们之间就有静摩擦力；物体间没有相对运动趋势时，它们之间就没有静摩擦力。可以假设接触面是光滑的，若不会相对运动，物体将不受静摩擦力，若有相对运动就有静摩擦力。（注意：这种假设的方法在研究物理问题时是常用方法，也是很重要的方法。）具体到这个题目，在竖直方向物体A受重力G以及外力F的竖直分量，即 。当接触面光滑， 时，物体能保持静止；当 时，物体A有向下运动的趋势，那么A应受到向上的静摩擦力；当 时，物体A则有向上运动的趋势，受到的静摩擦力的方向向下，因此应分三种情况说明。

从这里可以看出，由于静摩擦力方向能够改变，数值也有一定的变动范围，滑动摩擦力虽有确定数值，但方向则随相对滑动的方向而改变，因此，讨论使物体维持某一状态所需的外力F的许可范围和大小是很重要的。何时用等号，何时用不等号，必须十分注意。

（3）弹性力作用下的平衡问题

例3 如图1-3所示，一个重力为 的小环套在竖直的半径为 的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（L<2r）弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A。当小环静止时，略去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦。求弹簧与竖直方向之间的夹角

分析 选取小环为研究对象，孤立它进行受力情况分析：小环受重力 、大圆环沿半径方向的支持力N、弹簧对它的拉力F的作用，显然，

解法1 运用正交分解法。如图1-4所示，选取坐标系，以小环所在位置为坐标原点，过原点沿水平方向为 轴，沿竖直方向为 轴。

解得

解法2 用相似比法。若物体在三个力F1、F2、F3作用下处于平衡状态，这三个力必组成首尾相连的三角形F1、F2、F3，题述中恰有三角形AO 与它相似，则必有对应边成比例。

（4）在电场、磁场中的平衡

例4 如图1-5所示，匀强电场方向向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为 带电量为q的微粒以速度 与磁场垂直、与电场成45?角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E的大小，磁感强度B的大小。

解析 由于带电粒子所受洛仑兹力与 垂直，电场力方向与电场线平行，知粒子必须还受重力才能做匀速直线运动。假设粒子带负电受电场力水平向左，则它受洛仑兹力 就应斜向右下与 垂直，这样粒子不能做匀速直线运动，所以粒子应带正电，画出受力分析图根据合外力为零可得，

（1） （2）

由（1）式得 ，由（1），（2）得

（5）动态收尾平衡问题

例5 如图1-6所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间距离为 ，导轨平面与水平面的夹角为 。在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为B。在导轨的A、C端连接一个阻值为R的电阻。一根垂直于导轨放置的金属棒 ，质量为 ，从静止开始沿导轨下滑。求 棒的最大速度。（已知 和导轨间的动摩擦因数为 ，导轨和金属棒的电阻不计）

解析 本题的研究对象为 棒，画出 棒的平面受力图，如图1-7。 棒所受安培力F沿斜面向上，大小为 ，则 棒下滑的加速度

。

棒由静止开始下滑，速度 不断增大，安培力F也增大，加速度 减小。当 =0时达到稳定状态，此后 棒做匀速运动，速度达最大。

。

解得 棒的最大速度

。

例6 图1-8是磁流体发电机工作原理图。磁流体发电机由燃烧室（O）、发电通道（E）和偏转磁场（B）组成。在2500K以上的高温下，燃料与氧化剂在燃烧室混合、燃烧后，电离为正负离子（即等离子体），并以每秒几百米的高速喷入磁场，在洛仑兹力的作用下，正负离子分别向上、下极板偏转，两极板因聚积正负电荷而产生静电场。这时等离子体同时受到方向相反的洛仑兹力（ ）与电场力（F）的作用，当F= 时，离子匀速穿过磁场，两极板电势差达到最大值，即为电源的电动势。设两板间距为d，板间磁场的磁感强度为B，等离子体速度为 ，负载电阻为R，电源内阻不计，通道截面是边长为d的正方形，试求：

（1）磁流体发电机的电动势 ？

（2）发电通道两端的压强差 ？

解析 根据两板电势差最大值的条件

所以，磁流发电机的电动势为

设电源内阻不计，通道横截面边长等于 的正方形，且入口处压强为 ，出口处的压强为 ；当开关S闭合后，发电机电功率为

根据能量的转化和守恒定律有

所以，通道两端压强差为

（6）共点的三力平衡的特征规律

例7 图1-9中重物的质量为 ，轻细线AO和BO的A、B端是固定的，平衡时AD是水平的，BO与水平的夹角为 。AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：

A、 B、

C、 D、

解析 如图1-10，三根细绳在O点共点，取O点（结点）为研究对象，分析O点受力如图1-10。O点受到AO绳的拉力F1、BO绳的拉力F2以及重物对它的拉力T三个力的作用。

图1-10（a）选取合成法进行研究，将F1、F2合成，得到合力F，由平衡条件知：

则：

图1-10（b）选取分解法进行研究，将F2分解成互相垂直的两个分力 、 ，由平衡条件知：

则：

问题：若BO绳的方向不变，则细线AO与BO绳的方向成几度角时，细线AO的拉力最小？

结论：共点的三力平衡时，若有一个力的大小和方向都不变，另一个力的方向不变，则第三个力一定存在着最小值。

（7）动中有静，静中有动问题

如图1-11所示，质量为M的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上着一个质量为 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的二分之一，则在小球下滑的过程中，木箱对地面的压力为 。因为球加速下滑时，杆受向上的摩擦力 根据第二定律有 ，所以 。对木箱进行受力分析有：重力 、地面支持力N、及球对杆向下的摩擦力 。由平衡条件有 。

2、电磁学中的平衡

（1）电桥平衡

若没有R，则R1和R2串联后与R3和R4串联后再并联

设通过R1的电流为I1，通过R3的电流I2

如有：I1R1=I2R3，I1R2=I2R4 则R两端电势差为0所以R中的电流为0，即电桥平衡。

（2）静电平衡

例8 一金属球，原来不带电。现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN，如图1-12所示。金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上 、 、 三点的场强大小分别为 、 、 ，三者相比，

A、 最大 B、 最大 C、 最大 D、 = =

解析：

当金属球在带电杆激发的电场中达到以静电平衡时，其内部的场强为0，即细杆在 、 、 产生的场强与金属球上的感应电荷在 、 、 产生的场强大小相等，方向相反，故答案C正确。

3、热平衡问题

例9 家电电热驱蚊器中电热部分的主要元件是PTC，它是由钛酸钡等半导体材料制成的电阻器，其电阻率 与温度 的个关系图象如图1-13。电热驱蚊器的原理是：通电后电阻器开始发热，温度上升，使药片散发出驱蚊药，当电热器产生的热与向外散发的热平衡时，温度达到一个稳定值。由图象可以判定：通电后，PTC电阻器的功率变化情况是 ，稳定时的温度应取 区间的某一值。

分析 通电后应认为电压U不变。随着温度的升高，在（0~t1）范围内，电阻率随温度的升高而减小，因此电阻减小，电功率增大，驱蚊器温度持续上升；在（t1~t2）范围内，电阻率随温度的升高而增大，因此电阻增大，电功率减小。当电热器产生的热与向外散发的热平衡时，温度、电阻、电功率都稳定在某一值。

解答 功率变化是先增大后减小，最后稳定在某一值。这时温度应在t1~t2间。

第二讲 匀变速运动

一、特别提示：

1、匀变速运动是加速度恒定不变的运动，从运动轨迹来看可以分为匀变速直线运动和匀变速曲线运动。

2、从动力学上看，物体做匀变速运动的条件是物体受到大小和方向都不变的恒力的作用。匀变速运动的加速度由牛顿第二定律决定。

3、原来静止的物体受到恒力的作用，物体将向受力的方向做匀加速直线运动；物体受到和初速度方向相同的恒力，物体将做匀速直线运动；物体受到和初速度方向相反的恒力，物体将做匀减速直线运动；若所受到的恒力方向与初速度方向有一定的夹角，物体就做匀变速曲线运动。

二、典型例题：

例1 气球上吊一重物，以速度 从地面匀速竖直上升，经过时间t重物落回地面。不计空气对物体的阻力，重力离开气球时离地面的高度为多少。

解 方法1：设重物离开气球时的高度为 ，对于离开气球后的运动过程，可列下面方程： ，其中（-hx表示）向下的位移 ， 为匀速运动的时间， 为竖直上抛过程的时间，解方程得： ，于是，离开气球时的离地高度可在匀速上升过程中求得，为：

方法2：将重物的运动看成全程做匀速直线运动与离开气球后做自由落体运动的合运动。显然总位移等于零，所以：

解得：

评析 通过以上两种方法的比较，更深入理解位移规律及灵活运用运动的合成可以使解题过程更简捷。

例2 两小球以95m长的细线相连。两球从同一地点自由下落，其中一球先下落1s另一球才开始下落。问后一球下落几秒线才被拉直？

解 方法1：“线被拉直”指的是两球发生的相对位移大小等于线长，应将两球的运动联系起来解，设后球下落时间为ts，则先下落小球运动时间为(t+1)s，根据位移关系有：

解得：t=9s

方法2：若以后球为参照物，当后球出发时前球的运动速度为 。以后两球速度发生相同的改变，即前一球相对后一球的速度始终为 ，此时线已被拉长：

线被拉直可看成前一球相对后一球做匀速直线运动发生了位移：

∴

评析 解决双体或多体问题要善于寻找对象之间的运动联系。解决问题要会从不同的角度来进行研究，如本题变换参照系进行求解。

例3 如图2-1所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（ ）

A、1:1 B、4:3 C、16:9 D\9：16

解 由平抛运动的位移规律可行：

∵ ∴

∴

故D选项正确。

评析 灵活运用平抛运动的位移规律解题，是基本方法之一。应用时必须明确各量的物理意义，不能盲目套用公式。

例4 从空中同一地点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度方向相反、大小分别为 ，求经过多长时间两小球速度方向间的夹角为90°？

解 经过时间t，两小球水平分速度 、 不变，竖直分速度都等于 ，如图2-2所示，t时刻小球1的速度 轴正向夹角 为

小球2的速度 轴正向夹角 为

由图可知

联立上述三式得

评析 弄清平抛运动的性质与平抛运动的速度变化规律是解决本题的关键。

例5 如图2-3所示，一带电粒子以竖直向上的初速度 ，自A处进入电场强度为E、方向水平向右的匀强电场，它受到的电场力恰与重力大小相等。当粒子到达图中B处时，速度大小仍为 ，但方向变为水平向右，那么A、B之间的电势差等于多少？从A到B经历的时间为多长？

解 带电粒子从A→B的过程中，竖直分速度减小，水平分速度增大，表明带电粒子的重力不可忽略，且带正电荷，受电场力向右。依题意有

根据动能定理：

在竖直方向上做竖直上抛运动，则

解得： 。

∴

评析 当带电粒子在电场中的运动不是类平抛运动，而是较复杂的曲线运动时，可以把复杂的曲线运动分解到两个互相正交的简单的分运动来求解。

例6 如图2-4所示，让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物由静止经过同一加速电场加速，然后在同一偏转电场里偏转，它们是否会分成三股？请说明理由。

解 设带电粒子质量为 、电量为q，经过加速电场加速后，再进入偏转电场中发生偏转，最后射出。设加速电压为 U1，偏转电压为U2，偏转电极长为L，两极间距离为d，带电粒子由静止经加速电压加速，则U1q= ， 。

带电粒子进入偏转电场中发生偏转，则水平方向上： ，

竖直方向上： 。

可见带电粒子射出时，沿竖直方向的偏移量 与带电粒子的质量 和电量q无关。而一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子，它们仅质量或电量不相同，都经过相同的加速和偏转电场，故它们射出偏转电场时偏移量相同，因而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。

评析 带电粒子在电场中具有加速作用和偏转作用。分析问题时，注意运动学、动力学、功和能等有关规律的综合运用。

第三讲 变加速运动

一、特别提示

所谓变加速运动，即加速度（大小或方向或两者同时）变化的运动，其轨迹可以是直线，也可以是曲线；从牛顿第二定律的角度来分析，即物体所受的合外力是变化的。

本章涉及的中学物理中几种典型的变加速运动如：简谐运动，圆周运动，带电粒子在电场、磁场和重力场等的复合场中的运动，原子核式结构模型中电子绕原子核的圆周运动等。故涉及到力学、电磁学及原子物理中的圆周运动问题。

二、典型例题

例1 一电子在如图3-1所示按正弦规律变化的外力作用下由静止释放，则物体将：

A、作往复性运动

B、t1时刻动能最大

C、一直朝某一方向运动

D、t1时刻加速度为负的最大。

评析 电子在如图所示的外力作用下运动，根据牛顿第二定律知，先向正方向作加速度增大的加速运动，历时t1；再向正方向作加速度减小的加速运动，历时(t2~t1)；(0~t2)整段时间的速度一直在增大。紧接着在(t2~t3)的时间内，电子将向正方向作加速度增大的减速运动，历时(t3~t2)；(t3~t4)的时间内，电子向正方向作加速度减小的减速运动，根据对称性可知，t4时刻的速度变为0（也可以按动量定理得，0~t4时间内合外力的冲量为0，冲量即图线和坐标轴围成的面积）。其中（0~t2）时间内加速度为正；(t2~t4)时间内加速度为负。正确答案为：C。

注意 公式 中F、 间的关系是瞬时对应关系，一段时间内可以是变力；而公式 或 只适用于匀变速运动，但在变加速运动中，也可以用之定性地讨论变加速运动速度及位移随时间的变化趋势。

上题中，如果F-t图是余弦曲线如图3-2所示，则情况又如何？

如果F-t图是余弦曲线，则答案为A、B。

例2 如图3-3所示，两个完全相同的小球 和 ，分别在光滑的水平面和浅凹形光滑曲面上滚过相同的水平距离，且始终不离开接触面。 球是由水平面运动到浅凹形光滑曲线面，再运动到水平面的，所用的时间分别为t1和t2，试比较t1、t2的大小关系：

A、t1>t2 B、t1=t2 C、t1<t2 D、无法判定

评析 小球滚下去的时候受到凹槽对它的支持力在水平向分力使之在水平方向作加速运动；而后滚上去的时候凹槽对它的支持力在水平方向分力使之在水平方向作减速运动，根据机械能守恒定律知，最后滚到水平面上时速度大小与原来相等。故 小球在整个过程中水平方向平均速度大，水平距离一样，则 所用时间短。答案：A。

例3 如图3-4所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连。木块A放在B上。两木块质量均为 ，竖直向下的力F作用在A上，A、B均静止，问：

（1）将力F瞬间撤去后，A、B共同运动到最高点，此时B对A的弹力多大？

（2）要使A、B不会分开、力F应满足什么条件？

评析 （1）如果撤去外力后，A、B在整个运动过程中互不分离，则系统在竖直向上作简揩运动，最低点和最高点关于平衡位置对称，如图3-5所示，设弹簧自然长度为 ，A、B放在弹簧上面不外加压力F且系统平衡时，如果弹簧压至O点，压缩量为b，则： 。外加压力F后等系统又处于平衡时，设弹簧又压缩了A，则： ，即： 。

当撤去外力F后，系统将以O点的中心，以A为振幅在竖直平面内上下作简谐运动。在最低点： ，方向向上，利用牛顿第二定律知，该瞬间加速度： ，方向向上；按对称性知系统在最高点时： ，方向向下。

此时以B为研究对象进行受力分析，如图3-6所示，按牛顿第二定律得：

（2）A、B未分离时，加速度是一样的，且A、B间有弹力，同时最高点最容易分离。分离的临界条件是： （或者：在最高点两者恰好分离时对A有： ，表明在最高点弹簧处于自然长度时将要开始分离，即只要： 时A、B将分离）。所以要使A、B不分离，必须： 。

例4 如图3-7所示，在空间存在水平方向的匀强磁场（图中未画出）和方向竖直向上的匀强电场（图中已画出），电场强度为E，磁感强度为B。在某点由静止释放一个带电液滴 ，它运动到最低点恰与一个原来处于静止状态的带电液滴b相撞，撞后两液滴合为一体，并沿水平方向做匀速直线运动，如图所示，已知 的质量为b的2倍， 的带电量是b的4倍（设 、b间静电力可忽略）。

（1）试判断 、b液滴分别带何种电荷？

（2）求当 、b液滴相撞合为一体后，沿水平方向做匀速直线的速度 及磁场的方向；

（3）求两液滴初始位置的高度差 。

评析 （1）设b质量为 ，则 带电量为4q，因为如果 带正电， 要向下偏转，则必须： ；而对b原来必须受力平衡，则： 。前后相矛盾，表明 带负电，b带正电。

（2）设 为 与b相撞前 的速度， 下落的过程中重力、电场力做正功，由动能定理有： 。由于b原来处于静止状态： 。

由以上两式可得：

、b相撞的瞬间动量守恒： 。得

而电荷守恒，故：

、b碰撞后粘在一起做匀速直线运动，按平衡条件得： ，则： 。所以：

例5 如图3-8所示，一单匝矩形线圈边长分别为 、b，电阻为R，质量为m，从距离有界磁场边界 高处由静止释放，试讨论并定性作出线圈进入磁场过程中感应电流随线圈下落高度的可能变化规律。

评析 线圈下落高度时速度为：

下边刚进入磁场时切割磁感线产生的感应电动势： 。产生的感应电流：I= ，受到的安培力：

讨论 （1）如果 ，即： ，则：线圈将匀速进入磁场，此时： （变化规律如图3-9所示）

（2）如果 ，表明 较小，则：线圈加速进入磁场，但随着 有三种可能：

①线圈全部进入磁场时还未达到稳定电流I0（变化规律如图3-10所示）

②线圈刚全部进入磁场时达到稳定电流I0（变化规律如图3-11所示）

③线圈未全部进磁场时已达到稳定电流I0（变化规律如图3-12所示）

（3）如果 ，则：线圈减速进入磁场，但随着 ，故线圈将作 减小的减速运动。

有三种可能：

①线圈全部进入磁场时还未达到稳定电流I0（变化规律如图3-13所示）

②线圈刚全部进入磁场时达到稳定电流I0（变化规律如图3-14所示）

③线圈未全部进入磁场时已达到稳定电流I0（变化规律如图3-15所示）

例6 光从液面到空气时的临界角C为45°，如图3-16所示，液面上有一点光源S发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且到液面的距离为d的平面镜M上，当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度 做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者们观察到的光斑的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？

评析 本题涉及平面镜的反射及全反射现象，需综合运用反射定律、速度的合成与分解、线速度与角速度的关系等知识求解，确定光斑掠移速度的极值点及其与平面镜转动角速度间的关系，是求解本例的关键。

设平面镜转过 角时，光线反射到水面上的P点，光斑速度为 ，如图3-17可知： ，而：

故： ， ，而光从液体到空气的临界角为C，所以当 时达到最大值 ，即：

例7 如图3-18所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球简谐运动的最大加速度和最大速度大小各为多少？（ 取10m/s2）

评析 这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目，本题涉及到的知识点有受迫振动、共振的概念和规律、单摆摆球做简谐运动及固有周期、频率、能量的概念和规律等。由题意知，当单摆共振时频率 ，即： ，振幅A=8cm=0.08m，由 得：

如图3-19所示，摆能达到的最大偏角 的情况下，共振时： ，（其中 以弧度为单位，当 很小时， ，弦A近似为弧长。）所以： 。根据单摆运动过程中机械能守恒可得： 。其中：

例8 已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度） ，其中G、ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G=6.7×10-11N?m2/kg2，c=3.0×108m/s，求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=2.0×1030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarhid半径）；（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？（最后结果保留两位有效数字）

解析 （1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度 ，其中M、R为天体的质量和半径，对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即 ，所以：

即质量为 kg的黑洞的最大半径为 (m)

（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为 ，其中R为宇宙的半径， 为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为 ，由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c。即： 。则由以上三式可得： ，合4.2×1010光年。即宇宙的半径至少为4.2×1010光年。

电动机的最大输出功率为

可用于

第一个图中，静止在水平面上的小球受到重力、水平面的支持力二个力作用．

第二个图中，物块受到重力、斜面的支持力和斜面的摩擦力三个力作用．

第三个图中，小球受到重力、杆的支持力和绳子的拉力三个力作用．画出物体受力图如图所示．

第四个图中，木箱受到重力、水平面的支持力、地面向右的滑动摩擦力和上木箱对下木箱向左的静摩擦力，还有上木箱对下木箱的压力共五个力作用．画出物体受力图如图所示．

答：以下各图中A物体的受力分析图：