底面积为04平方米的大木箱-底面积为0.2平方米,重为400牛

一、填空

1.长方体或者正方体（）叫做它的表面积。

2.一个正方体的棱长是10厘米，它的表面积是（）平方厘米。

3.一个长方体长4分米，宽3分米，高2分米，它的表面积是（）平方分米。

4.正方体的棱长之和是60分米，它的表面积是（）平方分米。

5.用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体拼成一个表面积尽可能小的正方体，这个拼成的长方体的表面积是（）平方厘米。

二、选择题。

1.用两个棱长是1分米的正方体小木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（）。

A.增加了 B.减少了 C.没有变

2.如果把一个棱长是10厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和比原来的正方体表面积（）。

A.增加了 B.减少了 C.没有变化

3.正方体的棱长扩大2倍，它的表面积就（）。

A.扩大2倍 B.扩大4倍 C.扩大6倍

4.大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长之和是小正方体的（）

A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍

5.把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（）。

A.等于大正方体的表面积

B.等于大正方体表面积的2倍

C.等于大正方体表面积的3倍

三、一个房间长5米，宽3米，高2.8米，现需油漆四壁和天花板，扣除门窗的面积4.5平方米，求油漆的总面积有多大？

四、要做一种管口周长40厘米的通气管子10根，管子长2米，至少需要铁皮多少平方米？

五、一个正方体的表面积是54平方分米，这个正方体所有棱长之和是多少？

六、有一个长方体木箱，长0.7米，宽0.5米，高0.3米。怎样放，这个木箱占地面积最小？最小是多少平方米？

长方体与正方体练习二

1．填空

（l）长方体或正方体（）个面的总面积，叫做它们的表面积。

（2）计算正方体的表面积可以用（）×（）×（）的方法计算。这是因为正方体有（）个面，每个面都是（）形，而且（）都相等。

（3）一个正方体的表面积是36平方厘米，把它放在桌子上占的面积是（）平方厘米。

（4）一个长方体长5厘米，宽5厘米，高4厘米，这个长方体有2个面是（）形，有（）个面的面积相等，长方体的表面积是（）。

（5）正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大（）倍。

2．判断

（l）一个正方体的表面积是这个正方体一个面的面积的6倍。（）

（2）把两个表面积为12平方分米的完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积为24平方分米。（）

（3）做一个不带盖的长方体铁盒，长0．6米，宽0．35米，高0，4米。至少需要多少平方米铁皮？

① （）

② （）

③ （）

（4）把一个正方体锯成两个长方体，它的表面积增加了6平方厘米，那么原正方体的表面积是1厘米。（）

3．看图填空（单位：分米）

（l）它的上面的面积是（）。（2）它的前面的面积是（）。

（3）它的右面的面积是（）。（4）它的表面积是（）。

4．一个正方体棱长0．8分米，它的表面积是多少平方分米？

5．一个长方体长、宽、高是8厘米、7厘米、5厘米，求它的表面积。

6．有一个长方体的糖盒长和宽都是12厘米，高10厘米，在盒的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是多少？

7．用铁皮焊15个底面是边长25厘米的正方形，高4分米的长方体无盖水桶，至少要用多少铁皮？

8．一个小食堂长10米，宽8米，高5米，要粉刷四壁和顶棚。扣除门窗面积18．4平方米，平均每平方米用石灰0．2千克，一共用石灰多少千克？

9．用三个棱长为8厘米的正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？棱长之和是多少？

长方体与正方体练习三

一、填空

1、 40立方米＝（）立方分米

4立方分米5立方厘米＝（）立方分米

30立方分米＝（）立方米

0.85升＝（）毫升

2100毫升＝（）立方厘米＝（）立方分米

0.3升＝（）毫升＝（）立方厘米

2、一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（）立方分米．

3、一个长方体的体积是30立方厘米，长是5厘米，高是3厘米，宽是（）厘米．

4、一个长方体的底面积是0.2平方米，高是8分米，它的体积是（）立方分米．

5、表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（）立方厘米．

6、正方体的棱长缩小3倍，它的体积就缩小（）倍．

7、一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（）厘米铁丝，是求长方体（），在表面贴上塑料板，共要（）塑料板是求（），在里面能盛（）升水是求（），这个盒子有（）立方米是求（）．

8、长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面种最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米．

二、判断

1、体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大．（）

2、正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算．（）

3、表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等．（）

4、长方体的体积就是长方体的容积．（）

5、如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的4倍．（）

三、选择

1、正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大（）倍．

①2 ②4 ③6 ④8

2、一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（）平方分米．

①8 ②16 ③24 ④32

3、一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大（）倍．

①2 ②4 ③6 ④8

4、表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（）．

①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等

5、将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（）．

①体积相等，表面积不相等 ②体积和表面积都不相等． ③表面积相等，体积不相等．

6、一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（）是6立方米．

①体积 ②容积 ③表面积

长方体与正方体练习四

一、填空

1、4.2立方米＝（）立方分米 2、0.75立方分米＝（）立方厘米

3、3640立方厘米＝（）立方分米 4、62.5立方米＝（）立方分米

5、1020立方分米＝（）立方米 6、3.15立方分米＝（）立方厘米

7、45立方米＝（）立方分米 8、3000立方厘米＝（）立方分米

二、应用题

1、要制作50块棱长6厘米的正方体木块，至少需要多少立方分米的木材？

2、一块水泥砖长和宽都是5分米，厚是9厘米．它的体积是多少？

3、要制作140个棱长5厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？

4、某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？

三、填表

项目长宽底面积高体积表面积

单位（分米）（分米）（平方分米）（分米）（立方分米）（平方分米）

长方体 3 5 8

长方体 4.2 21 105

正方体 6

三、应用题

1、一个正方体的棱长之和是48厘米，这个正方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？

2、一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多少立方分米？

3、长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？

(1)6.1立方分米=（）立方厘米

2040毫升=（）升

(2)一个正方体棱长之和是72厘米,这个正方体每条棱的长度是（）厘米。

(3)一个长方体,长是4厘米,宽和高都是3厘米,体积是（）,棱长总和是（）。

(4)一个正方体棱长扩大4倍,体积就扩大（）倍。

(1)6100 2.04 (2)6 (3)36立方厘米 40厘米 (4)64

(1)正方体有6个面,每个面都是正方形。（）

(2)长方体的6个面中,最多只能有4个面是正方形。（）

(3)1.23=1.2×3 （）

(4)棱长是6分米的正方体,它的表面积与体积相等。（）

(5)把两个棱长是3分米的正方体拼成一个长方体,表面积是90平方分米（）

小学六年级数学竞赛（要答案滴、）

1、一桶汽油倒出20% ，正好是24千克，这桶汽油重多少千克？（列方程解答）

2、某服装厂2月份生产运动服4500套，比1月份少10%，1月份生产运动服多少套？

3、10公顷小麦田，平均每公顷收小麦4.8吨，按85%的出粉率计算，这些小麦可磨面粉多少吨？

4、明明的房间四壁要粉刷一新，房间长4米，宽3米，高3米。除去门窗面积4.7平方米，每平方米用涂料0.6升，立邦梦幻千色外墙亚光漆4.5升一桶，每桶286元，粉刷明明房间大约要用多少元？

5、某班有学生49人，其中男生有24人，男生占全班人数的几分之几？女生占全班人数的几分之几？

6、一根长30米的钢管锯成三段。第一段长7米，比第二段短2.5米，第三段长多少米？

7、有一个游泳池，长25米，宽12米、深1.4米，池底和四周贴上边长为2分米的正方形白瓷砖，一共要用多少块？

8、一个工程队修筑一条15.8千米长的公路，第一周修了5千米，第二周比第一周多修0.7千米，还要修多少千米才能修完？

9、长方体蓄水池中有水2100立方米，这个蓄水池长50米，宽20米，水深多少米？

10、学校运来7.6立方米沙土，把这些沙土铺在一个长5米，宽3.8米的沙坑里，可以铺多厚？

11、一个水利工程队，前4天平均每天修水渠125米，后3天平均每天修134米。这个工程队平均每天修水渠多少米？

12、做10个棱长8厘米的正方体铁框架，至少需多长的铁丝？

13、用铁皮做一个铁盒，使它的长、宽、高分别是1.8分米，1.5分米和1.2分米，做一个这样的铁盒至少要用铁皮多少平方米？

14、做一个没盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是3分米，至少需要玻璃多少平方米？

15、我们学校要粉刷教室，教室长8米，宽7米，高3.5米，扣除门窗、黑板的面积13.米，已知每平方米需要5元涂料费。粉刷一个教室需要多少钱？

16、一个商品盒是棱长为6厘米的正方体，在这个盒的四周贴上商标，贴商标的面积最大是多少平方厘米？

17、用木板做长、宽、高分别是2.8分米，1.5分米和2.2分米抽屉，做5个这样的抽屉至少要用木板多少平方米？

18、有一个养鱼池长18米，宽12米，深3.5米，要在养鱼池各个面上抹一层水泥，防止渗水，如果每平方米用水泥5千克，一共需要水泥多少千克？

19、加工厂要加工一批电视机机套，（没有底面）每台电视机的长60厘米，宽50厘米、高55厘米，做1000个机套至少用布多少平方米？

20、做24节长方体的铁皮烟囱，每节长2米，宽4分米，高3分米，至少用多少平方米的铁皮？

21、一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是多少平方分米？

22、一个长方体的长是4分米，宽是2.5分米，高是3分米，求它的体积是多少立方分米？

23、一个长方体沙坑，长4米，宽2米，深0.5米，如果每立方米黄沙重1.4吨，这黄沙重多少吨？

24、有一种长方体钢材，长2米，横截面是边长为5厘米的正方形，每立方分米钢重7.8千克，这根方钢材重多少千克？

25、一个长方体，底面积是30平方分米，高3米，它的体积是多少立方分米？

26、一张写字台，长1.3m宽0.6m、高0.8m有20张这样的写字台要占多大空间?

27、一个棱长是5分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积4分米，高6分米的的长方体鱼缸里，鱼缸里水有多深？

28、一个棱长8分米的正方体水槽里装了490升水，把这些水倒入一个长10分米，宽7分米，高8分米的长方体水槽里，水槽里的水深是多少？

29、把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计）

30、一个长方体油桶，底面积是1分米，它可装43.2千克油，如果每升油重0.8千克，油桶内油高是多少？

31、一个长方形铁皮长30cm,宽25cm，从四个角各切掉一个长为5cm的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？

32、把一块长26dm的长方形木板，在四个角上分别剪去边长为3dm的正方形，将它制成容积为840立方分米的长方体无盖容器，这块木板原来的宽是多少？

33、一个长方体游泳池长60米，宽30米，深2米，游泳池占地多少平方米？沿游泳池的内壁1.5米处用红漆划一条水位线，这条线的长度是多少？现在游泳池内的水正好到达水位线，求池内水的体积？

34、一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，水深12厘米，把一块石头浸入水中后，水面上升到16厘米，求石块的体积？

35、 80根方木，垛成一个长2米，宽2米，高1.5米的长方体，平均每根方木的体积是多少立方米？合多少立方分米？

36、 3个棱长都8厘米的正方体，拼成一个长方体，它的体积和表面积各是多少？

37、家具厂订购500根方木，每根方木横截面面积是25平方分米，长是3.8米，这些木料的体积是多少立方米？

38、把两块棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积和表面积各是多少？

39、一个长方体表面积是156平方分米，底面积是30平方分米，底面周长是32分米，长方体的体积是多少？

40、把长8厘米，宽12厘米，高5厘米长方体木块锯成棱长2厘米的正方体木块，可锯多少块？

41、一个底面是正方形的长方体木料，长是5米，把它截成4段，表面积增加36平方米，求长方体的体积？

42、五年级有男生23人，女生25人，女生占男生的几分之几？男、女生各占全班人数的几分之几？

43、把3吨大米平均分成5份，每份是多少吨？每份是大米总数的几分之几？

44、学校图书馆有连环画280本，文艺书140本，连环画的本数是文艺书的几倍？文艺书是连环画的几分之几？

45、胜利小学五年级3班体育达标人数是24人，没达标人数是12人，达标人数占全班人数的几分之几？

46、王师傅6小时加工零件34个，李师傅7小时加工零件40个．谁的工作效率高？

47、一本书185页，看了95页，看了的占这本书的几分之几？没看的页数占这本书的几分之几？

48、一个长方体蓄水池，长8m，宽5m，深3m，这个蓄水池占地面积是多少？它最多可容水多少立方米？

49、 .小明的爸爸用玻璃做了一个棱长是6dm正方体鱼缸。制作这个鱼缸时，至少需要玻璃多少平方米？小明在鱼缸里注入144L的水，水面高度是多少分米？

50、机床厂去年四个季度分别完成全年任务的1/6 、1/5 、4/15 、7/10 ，去年超额完成全年计划的几分之几？

51、工地运来一批钢材，其中圆形钢材2吨，方形钢材 2/5 吨，其它钢材 1/7 吨，这批钢材共有多少吨？

52、找一找一个两位数，交换十位与个位上的数，所得的两位数仍是质数，写出两个这样的两位数。

53、走进生活五年级五班学生进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班有多少人吗

1、在中原路上铺一条地下电缆，已经铺了34 ，还剩下250米没有铺。这条电缆全长多少米

2、修一段路，第一天修了全长的1/4 ，第二天修了90米，这时还剩下150米没有修。这段路全长多少米？

3、建筑工地有一堆黄沙，用去了23 ，正好用去了60吨。这堆黄沙原来有多少吨？

4、声音在空气中3秒钟大约传1千米，光的速度每秒大约300000千米，声音的速度大约是光速的几分之几？

5、一块小麦试验田，原计划每公顷产小麦8吨，实际每公顷产小麦之几？

6、职工食堂4月份计划烧煤5吨，实际烧煤4.8吨。节约了百分之几？

7、用5000千克小麦可以磨出面粉4250千克，求小麦的出粉率。

8、小麦的出粉率是80％，要磨出面粉640千克，需要多少千克小麦？

9、六（1）班有学生50人，某天请假2人，求这天的出勤率?

10、植树节那天共植树若干棵，成活了485棵，没有成活的15棵，求这次植树的成活率。

11、王老师到体育用品商店买了5只小足球，付出100元，找回32.5元，每只小足球多少元？

12、甲乙两辆汽车同时从相距255千米的两地相对开出，甲车每小时行52千米，乙车每小时行57千米，经过几小时后两车还相距37千米？

13、师徒二人共加工208个机器零件，师傅加工的零件数比徒弟的2倍还多4个，师傅和徒弟各加工多少个零件？

14、王芳的存款数是李丽存款数的2.2倍，如果李丽再存入银行75元，两人的存款数就相等了，原来两人各存款多少元？

15、五年级买一批笔记本奖给三好学生，如果每人奖给5本，还剩3本；如果每人奖给6本，又少12本。五年级评出三好学生多少名？买了多少本笔记本？

16、山坡上有羊80只，其中白羊是黑羊的4倍，山坡上黑羊、白羊各多少只？

17、商店里卖出两筐柑橘，第一筐重26千克，第二筐重29千克，第二筐比第一筐多卖了9元钱，平均每千克柑橘多少元？(用两种方法解)

18、一块梯形麦田，面积是540平方米，高18米，上底是20米，下底是多少米？

19、甲乙两车从相距750千米的两地同时开出，相向而行，5小时相遇，甲车每小时行80千米，乙车每小时行多少千米？

20、两辆汽车同时从同地开出，行驶4.5小时后，甲车落在乙车的后面13.5千米，已知甲车每小时行35千米，乙车每小时行多少千米？

21、同学们去春游，车上已经坐了45人；还有4个小组在等下一辆车，每组9人。去春游的一共有多少人？

22、一共有150人去春游，已经走了54人，剩下的坐两辆车去，平均每辆车要坐多少人？

23、舞蹈队里有18名男生，女生人数是男生的2倍，舞蹈队里男、女生一共有多少人？

24、同学们做花，小军做了63朵，小红做的花比小军少做18朵，两人一共做了多少朵花？

25、食堂里第一次买来白菜25千克，第二次买来白菜175千克，按每千克白菜6角钱计算，食堂里买白菜一共用去多少钱？

26、小华给小刚看一本书，小华4天看了132页，小刚3天看96页，谁看得快？为什么？

27、妈妈给小明买了3件汗衫，每件汗衫23元，付给营业员100元，还应找回多少元？

28、体育用品商店原来有72只篮球，卖出60只，又购进45只，现在有多少只篮球？

29、同学们去天文台参观，女生有9人，男生去的人数是女生的3倍，一辆40座的汽车够坐么？

30、学校活动室里有24盒象棋，军旗的盒数是象棋的两倍，跳棋有12盒，跳棋比军旗少多少盒？

31. 学校买来白粉笔80盒，红粉笔20盒，用了60盒，还剩多少盒？

32. 老师有8袋乒乓球，每袋6个，借给同学15个，还剩多少个?

33. 老师拿70元去买书，买了7套故事书，每套9元，还剩多少元?

34. 制衣组有90米布，用了63米，剩下的布做了9套衣服．平均每套衣服用布多少米?

35. 食品店有80包方便面，上午卖了26包，下午卖了34包，还剩多少包?(用两种方法解答)

42回答者：敏集册 - 三级 2010-7-27 18:49

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提问者对于答案的评价：谢谢

建造一个容积为16立方米,深为4米得长方体无盖水池

第三讲几何之立体图形

教学目标

立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。

小学阶段，我们除了学面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。

★★★ 正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为，那么可得：

正方体的表面积：

正方体的体积：

★★★ 长方体：若长方体的长、宽、高分别为，那么可得：

长方体的表面积：

长方体的体积：

★★★ 圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长；

圆柱体的表面积：

圆柱体的体积：

★★★ 圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为；圆锥体的侧面展开图是一个扇形；

圆锥体的体积：

★★★ 球体：

在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。

教师版答案提示：如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱A处，水平面的另一端刚好在棱B处时，容器内正好装了一半水．如果不符合上述情况则容器内装的水就不是一半．如图②是容器里的水正好装一半，图①和图③则不是，图①大于一半，图③小于一半．

立体图形的表面积

例1 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？

分析：图形所含块数的规律：第1层1块，第2层3块，第3层6块，第4层10块，第5层15块，依次增加2、3、4、5…，当重叠到第5层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米。

例2 有两个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有有一个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形直孔，如图，圆孔直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米?( )

<分析>：观察可知涂漆部分包括圆柱体的外表面，以及圆孔的内表面．

零件的上、下底面：，零件的外侧面：

零件的内侧面：，零件涂防锈漆部分为：。

巩固右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是厘米，那么哪种颜色的布用得多？

分析：一样多。黑布：，白布：。

例3 用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米? （）

分析：工件既不是圆柱也不是圆锥，不是我们常见的规则几何图形，因此要考虑如何将此几何体转化为熟悉的常见几何体．如下图，再取一个同样的工件，两个工件拼在一起，可以拼成一个规则的圆柱体，则一个工件的侧面积是此圆柱侧面积的一半．圆柱的高为：，圆柱的侧面积为：，一个工件需铁皮： (平方厘米)．在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则的立体图形，然后才能利用已经掌握的公式、性质进行解题．其实这个思想我们在春季班就已经接触到了。

巩固（五年级春季所学相关题目）（07年希望杯培训试题）一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如右图所示的六面体ABCD-EFGH，其中最长的边DH=8厘米，最短的边AB=BC=CD=DA=BF=4厘米，那么这个六面体的体积是多少立方厘米？

分析：42．这个六面体的体积是长4厘米，宽4厘米，高12厘米的长方体体积的一半，即4×4×12÷2=96(立方厘米).

拓展（05年华罗庚金杯）如图1是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和黑色的部分都是边长等于1的正方形．问：这个直三棱柱的体积是多少?

分析：如图2，这个直三棱柱是棱长为1的正方体沿一条对角线切割得到的直三棱柱体．正方体的体积是1，这个直三棱柱的体积是正方体体积的一半，体积是．

例4 （迎春杯数学邀请赛）一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？

分析：已知正方形的表面积为54平方厘米，那么这个正方形每一个侧面的面积为54÷6=9(平方厘米)．一刀切成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原来正方形表面积增加了9×2=18(平方厘米)．因此，所求的两个长方体的表面积之和为：54+18=72(平方厘米)．

前铺如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是多少厘米？

分析：从总体考虑，在求这9个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、AD这四条边被用了1次，其余四条线被用了2次，所以9个小长方形的周长之和是：4×6+4×2×6=72（厘米）.

前铺（五年级春季所学相关思路的题目）一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.问这60块长方体表面积的和是多少平方米？

分析原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是1×1＝1（平方米），无论后来锯成多少块，这六个外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，现在一共锯了：2+3+4＝9（刀），一共得到1米的表面.因此，总的表面积为：6＋（2+3＋4）×2＝24（平方米）。

例5 （05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？

分析：长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：

（3×5+3×5+3×3）3×2=7厘米。

前铺（五年级春季所学相关思路的题目）右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

分析：三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；

两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；

一面涂红的表面中间部分：

（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块。

没涂红色的小方块有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24块。注意帮助孩子们理解，而后可以总结规律。

拓展（五年级春季所学相关思路的题目）右图是由27块小正方体构成的 3×3×3的正方体。如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的。这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有

的小方块是三面有红色的小方块的八倍？

分析：对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n＝6。

立体图形的体积

例6 （05年华罗庚金杯）如图，一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次?

分析：圆锥形容器甲的容积是：，半球形容器乙的容积是：，所以至少要注水8次．

例7 一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的柱形容器中，水面高多少厘米7．

分析：设底面积为S，圆柱体内水面的高为h，根据题意有：

拓展如右图所示，圆锥形容器内装的水正好是它容积的，水面高度是容器高度的几分之几？

分析：设水面高度是容器高度的倍，则水面半径也是容器底面半径的倍。根据题意得到：，

例8 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有的体积浸在水中（见右图）。问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？

分析：皮球的体积是：（立方厘米）；皮球浸在水中的部分是：（立方厘米）；水桶的底面积是：（平方厘米）；水面升高的高度是：（厘米）。

例9 （06年北京五中实验班选拔）一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米。现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。现在水深多少厘米?

分析：根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度。

（法1）：80×8÷(80一16) =640÷64=10(厘米)；

（法2）：设水面上升了厘米。根据上升部分的体积=浸人水中铁块的体积列方程为：，解得：，8+2=10(厘米)。

巩固有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中。钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米。这段钢材有多长?

分析：根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的，即，钢材底面积就是水桶底面积的。根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍。

（法1）：6÷( ) =96(厘米)

（法2）：3.14×20 ×6÷(3.14×5 )=96(厘米)

拓展（五年级春季学习过的题目，希望教师尽量抽出时间将此题回忆一遍）一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米.

分析：本题可能出现三种情况：①放入铁圆柱后，水深不及铁圆柱高.②放入铁圆柱后，水深比铁圆柱高但未溢出.③水有溢出.放入铁圆柱后，在铁圆柱周围，水的截面成圆环状，如图所示，截面积为 ×5×5— ×2×2=21 .收入圆柱前后，水的体积不变，为 ×5×5×15=375 .又因为375 ÷21 = =17 <18厘米.因此这时容器的水深是17 厘米.

[评注] 请同学们考虑水深是16厘米或19厘米的情况，并与本题的结果作比较.

例10 一个立体图形，我们从上到下，从前往后，从左到右观察都是相同的图形，是一个边长为3厘米分成9个面积相等的小正方形形成的井字形(如右图)．计算该立体的全表面积和体积．

分析：根据三视图，可以判定立体是一个棱长为3厘米的正方体，在每个面都在中央打一个底面积为1平方厘米的正方形，高为3厘米．的正棱柱孔洞．如右下图．

设该立体的全表面积为，体积为则：

(平方厘米)，

(立方厘米)．

前铺在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．

分析：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积。6个小洞内新增加面积的总和： 1×1×4×6＝24（平方厘米），原正方体表面积：42×6＝96（平方厘米），挖洞后表面积：96＋24＝120（平方厘米），体积：43－13×6＝58（立方厘米）．

拓展（人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．

分析：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4- ×22×2=536-8

内侧表面积为：16×4×3+2×(4×4- ×22)+2×2 ×2×3=192+32-8 +24 =224+16 ．

总表面积=224+16 +536-8 =760+8 =785.12(平方厘米)．

计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可．挖出的几何体体积为：

4×4×4×3+4×4×4+2× ×22×3=192+64+24 =256+24 ．

所求几何体体积为：1O×1O×1O- (256+24 )=668.64(立方厘米)．

[点评] 能把这道题拿下，所有不规则形体的表面积和体积计算都将不在话下。一定要注意：思路要清晰，比如表面积从外面和内部去讨论，体积直接是整体减挖去部分。细节决定成败：第一点，求表面积时，内部中心的正方形减去内切圆剩下部分容易忽略；第二点，本题大正方体的棱长是10厘米，是一个很伤脑筋的数字，直接导致出现了多处的3。呵呵，很多人在此被弄得灰头土脸。

例11 （03年数学电视科普赛）如图1，ABCD是直角梯形(单位：厘米， )，

（1）以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少?

（2）如果以CD为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少?

分析：（1）如图2所示，所求体积可看作BCDE绕AB的旋转体与△AED绕AB的旋转体之和，即 (立方厘米)．

（2）如图3所示，所求体积可看作ABCE绕EC的旋转体与△ADE绕EC的旋转体之差，即

(立方厘米)．

例12 （第七届祖冲之杯数学邀请赛）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?

分析：法1：（1）如右图，在40×20的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的：长=40-5-5=30(厘米)，宽=20-5-5=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=30×10× 5=1500(立方厘米)．

（2）如右图，在40×20长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长=40—5=35(厘米)，宽=20—5—5=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=35×10× 5=1750(立方厘米)．

（3）如右图，在40×20的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长=40-5-5-5-5=20(厘米)，宽=20(厘米)，高=5(厘米)，体积=20×20×5=2000(立方厘米)．因此，最后一种容积最大．

法2 ：你要想使容积最大，就要充分利用手中的铁皮，如果能将铁皮都用上那么就能得到一个最大的铁盒。如下图（1），我们从原铁皮上切割下4块5×20的长方体，如图（2），将其焊接上能做成一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒，那么此时的容积最大：20×20×5=2000(立方厘米)．

专题展望

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练习三

1. 用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？（对照例题1）

分析：整体看待面积问题，上下两面的表面积总是3×3；再看前后左右四个面，都是2×3+1，所以，总计9×2+7×4=18+28=46cm2。

2. （奥数网精选试题）把棱长6分米的正方体木块平均分成27个小正方体，表面积增加了多少平方分米? （对照例题4）

分析：要把正方体木块平均分成27个小正方体，必须按图进行分割．每分割一处．表面积就增加2个边长6分米的正方形的面积。共需分割六处，就增加了12个正方形的面积。6 ×12=432(平方分米)

3. 有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。（对照例题7）

分析：（厘米）

4. （05年华罗庚金杯）一个直角三角形三条边的长度是3，4，5，如果以边长4为轴旋转一周，得到一个立体．求这个立体的体积．（对照例题11）

分析：以长为4的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是3，由圆锥的体积公式得：

5. （05年全国小学数学奥林匹克）有一个棱长是12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔（穿透正方体木块）．穿孔后木块的体积是多少立方厘米？（对照例题10）

分析： (立方厘米)．

6. 如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水? （对照例题6）

分析：设圆锥容器的底面半径为，则水面半径为，容器的容积为：，

水的体积为：

说明容器可以装8份3升水，故还能装水：3×(8－1)=21(升)．

要做一个长1·2米,宽0·8米,高0,4米的无盖鱼缸,至小需要多少平方米的玻璃

容积为16立方米,深为4米，则底面积为16/4=4，设边长为X、Y，则有X*Y=4，Y=4/X，则周长为L=2X+8/X

L‘=2-8/X^2，令L’=0有X=2，则Y=4/2=2，周长=2*2+8/2=8，侧壁面积=8*4=32平方米，造价为32*90=2880元，池底造价为110*4=440元，总价=2880+440=3320元

长方体的长和宽分别为2米和2米，最低造价3320元

要制作一个四面坐底的开放缸你需要?

长： ?120厘米 X 宽：80厘米的玻璃一块(底)，需使用玻璃共?0.96?㎡

长：?120厘米X 宽：?39.2厘米的玻璃两块(前后)，单块需使用玻璃共0.4704?㎡

长：?39.2厘米X 宽：78.4厘米的玻璃两块(左右)，单块需使用玻璃共0.307328㎡

此鱼缸所用的玻璃总面积为：2.515456㎡（不计算损耗净面积）

合计玻璃的总重量为：50.30912?kg

要制作一个四面包底的开放缸你需要

长：118.4厘米X 宽：78.4厘米的玻璃一块(底)，需使用玻璃共0.928256㎡

长：120厘米X 宽：40厘米的玻璃两块(前后)，单块需使用玻璃共0.48㎡

长：?40厘米X 宽：78.4厘米的玻璃两块(左右)，单块需使用玻璃共0.3136㎡

此鱼缸所用的玻璃总面积为：2.5154560000000004㎡（不计算损耗净面积）

合计玻璃的总重量为：50.30912?kg

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底面积为04平方米的大木箱-底面积为0.2平方米,重为400牛

小学六年级数学竞赛（要答案滴、）

建造一个容积为16立方米,深为4米得长方体无盖水池

要做一个长1·2米,宽0·8米,高0,4米的无盖鱼缸,至小需要多少平方米的玻璃

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